Janbu
Die Janbu-Methode ist ein allgemeines Lamellenverfahren, das auf dem Grenzgleichgewicht beruht. Es benötigt ein befriedigendes Kräfte- und Momentengleichgewicht, das auf einzelne Blöcke wirkt (nur das Momentengleichgewicht des letzten obersten Blockes wird nicht erfüllt). Die Blöcke (Lamellen) entstehen durch Aufteilen des Bodens über der Gleitfläche durch Trennebenen. Die Kräfte, die auf einen einzelnen Block wirken, sind in der folgenden Abbildung dargestellt:
Statisches Schema: Janbu-Methode
Jeder Block trägt durch diese Kräfte zum Gleichgewicht bei:
Wi | - | Blockgewicht, inklusive Materialauflast mit Gewichtscharakter (Masse) und einschließlich der Auswirkungen von Koeffizient des vertikalen Erdbebens Kv |
Kh*Wi | - | horizontale Trägheitskraft, die Erdbebeneffekte repräsentiert. Kh ist der Koeffizient der horizontalen Beschleunigung während eines Erdbebens |
Ni | - | Normalkraft auf der Gleitfläche |
Ti | - | Scherkraft auf der Gleitfläche |
Ei,Ei+1 | - | Kräfte die von benachbarten Blocks ausgeübt werden und die, von der Horizontalen aus, um den Winkel δi bzw. δi+1 geneigt sind und auf der Höhe zi bzw. zi+1 über der Gleitfläche liegen |
Fxi,Fyi | - | andere horizontale und vertikale auf den block wirkende Kräfte |
M1i | - | Moment der Kräfte Fxi, Fyi das um den Punkt M rotiert, welcher das Zentrum des i-ten der Gleitfläche ist |
Ui | - | Resultierende des Porenwasserdrucks auf dem i-ten Abschnitt der Gleitfläche |
Die folgenden Annahmen werden für die Janbu-Methode eingeführt, um das Grenzgleichgewicht der Kräfte und Momente der einzelnen Blöcke zu berechnen:
- Trennflächen zwischen den Lamellen sind immer vertikal
- die Wirkungslinie des Blockgewichts Wi verläuft durch die Mitte des i-ten Abschnitts der Gleitfläche und durch den Punkt M
- die Normalkraft Ni wirkt in der Mitte des i-ten Abschnitts der Gleitfläche M
- Die Position zi der Kräfte Ei wird angenommen, an den Gleitflächenendpunkten ist z = 0
Die Wahl der Position zi kann signifikanten Einfluss auf die Konvergenz der Methode haben. Falls man eine schlechte Annahme für die Position zi für eine gegebene Böschung trifft, kann es unmöglich werden, die Gleichgewichtsgleichungen zu erfüllen (Algorithmus konvergiert nicht). Die Höhen zi über der Gleitfläche sind ungefähr zu einem Drittel der Höhe der Schnittstellen zwischen den Blöcken festgelegt. Im Falle von unbefriedigenden Gleichgewicht versucht das Programm, verschiedene Startpositionen zu wählen, beispielsweise im passiven Gebiet an der Böschungshöhe etwas über ein Drittel der Höhe und im aktiven Gebiet an der Böschungskrone, umgekehrt etwas weniger als ein Drittel der Höhe der Schnittstelle.
Zur Lösung werden folgende Formeln angewandt:
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
wo: | φi | - | Winkel der inneren Reibung auf dem Gleitflächenabschnitt |
ci | - | Kohäsion des Bodens auf dem Gleitflächenabschnitt | |
αi | - | Neigung des Gleitflächenabschnitts |
Gleichung (1) stellt die Beziehung zwischen effektivem und Gesamtwert der Normalkraft, die auf die Gleitfläche wirkt, dar. Gleichung (2) bezieht sich auf die Bedingungen nach Mohr-Coulomb, die die Beziehung zwischen Normal- und Scherkräften auf ein gegebenen Abschnitt der Gleitfläche darstellen. Gleichung (3) stellt das Kräftegleichgewicht senkrecht zum i-ten Abschnitt dar, wohingegen Gleichung (4) das Gleichgewicht entlang des i-ten Abschnitts der Gleitfläche darstellt. SF ist der Sicherheitsfaktor, welcher genutzt wird, um Bodenparameter abzumindern. Gleichung (5) entspricht dem Momentengleichgewicht um den Punkt M, wobei ygi die vertikale Koordinate des Angriffspunkts des Blockgewichts und yM die vertikale Koordinate des Punkts M ist.
Das Umstellen der Gleichungen (3) und (4) ergibt folgende rekursive Formel (6):
| (6) |
Diese Formel erlaubt die Berechnung aller Kräfte Ei, die zwischen den Blöcken wirken, für gegebene Werte von δi und SF. Die Lösung geht davon aus, dass der Wert von E am Ursprung der Gleitfläche bekannt und gleich E1=0 ist.
Die Formel zur Berechnung der Winkel δi (7) folgt aus der Momentengleichgewichtsgleichung (5):
| (7) |
Diese Formel erlaubt uns die Berechnung für gegebene Werte für δ aller Hebelarme z der Kräfte zwischen den Blöcken, bei Kenntnis des Werts am linken Rand der Gleitfläche, wo z1 = 0.
Der Sicherheitsfaktor SF wird mit diesem Iterationsprozess bestimmt:
- Die Anfangswerte aller Winkel werden gleich Null gesetzt δi = 0 und die Positionen zi ungefähr ein Drittel der Höhe der Schnittstelle.
- Der Sicherheitsfaktor SF für einen gegebenen Wert von δi folgt aus der Gleichung (6), unter der Annahme, daß En+1 = 0 am Ende der Gleitfläche ist.
- Den Wert δi liefert Gleichung (7) mithilfe der Werte Ei, die im vorherigen Schritt bestimmt wurden.
- Die Schritte 2 und 3 werden so lange wiederholt, bis sich der Wert von SF nicht mehr verändert.
Für einen erfolgreichen Iterationsprozess ist es notwendig, instabile Lösungen zu vermeiden. Solche Instabilitäten treten an Punkten auf, an denen Division durch Null in der Formel (6) stattfindet:
Ein anderer Weg, numerische Instabilität zu vermeiden, ist die Überprüfung des Parameters mα - folgende Bedingung muss erfüllt sein:
Demnach muss man, vor Beginn der Iteration, den höchsten kritischen Wert von SFmin finden, der obige Bedingung erfüllt. Werte kleiner dem kritischen Wert SFmin sind im Bereich der instabilen Lösungen, demnach beginnt die Iteration bei einem Wert von SF der größer als SFmin ist und somit sind alle anderen Werte von SF ebenfalls größer SFmin.
Generell konvergieren rigorose Methoden schlechter als einfache Methoden (Bishop, Fellenius). Beispiele mit Konvergenzproblemen sind unter anderem zu steile Abschnitte der Gleitfläche, komplexe Geometrie, ein signifikanter Sprung in der Auflast, usw. Falls keine Lösung gefunden wird, empfehlen wir eine geringfügige Änderung der Eingangsdaten, z. B. eine weniger steile Gleitfläche, Eingabe von mehr Punkten für die Gleitfläche, etc., oder alternativ die Berechnung mit einfachen Methoden.
Literatur:
Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.
Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.