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Morgenstern-Price

Die Spencer-Methode ist ein allgemeines Lamellenverfahren, das auf dem Grenzgleichgewicht beruht. Es benötigt ein befriedingendes Kräfte- und Momentengleichgewicht, das auf einzelne Blöcke wirkt. Die Blöcke (Lamellen) entstehen durch Aufteilen des Bodens über der Gleitfläche furch Trennebenen. Die Kräfte, die auf einen einzelnen Block wirken, sind in der folgenden Abbildung dargestellt:

Statisches Schema: Morgenstern-Price-Methode

Es wird angenommen, dass jede Lamelle die gleichen Kräfte besitzt, wie in der Spencer-Methode. Die folgenden Annahmen werden für die Morgenstern-Price-Methode eingeführt, um das Grenzgleichgewicht der Kräfte und Momente der einzelnen Blöcke zu berechnen:

• Trennflächen zwischen den Lamellen sind immer vertikal
• die Wirkungslinie des Blockgewichts W_i verläuft durch die Mitte des i-ten Abschnitts der Gleitfläche, den Punkt M
• die Normalkraft N_i wirkt in der Mitte des i-ten Abschnitts der Gleitfläche, im Punkt M
• die Neigung der Kräfte E_i wirkt zwischen den Blöcken und ist unterschiedlich für jeden Block (δ_i), nur am Ende der Gleitfläche ist δ = 0

Der einzige Unterschied zwischen Spencer und Morgenstern-Price ist in der obigen Liste der Annahmen aufgeführt. Die Wahl des Winkels δ_i der Kraft E_i, die zwischen den Blöcken wirkt, wird mithilfe einer Halb-Sinusfunktion getroffen - eine der Funktionen der nachfolgenden Grafik wird automatisch ausgewählt. Die Wahl der Form der Kurve hat kaum Einfluss auf das Endergebnis, allerdings kann eine sinnvolle Wahl die Konvergenz der Methode verbessern. Der Funktionswert der Halbsinusfunktion f(x_i) am Schnittstellenpunkt x_i multipliziert mit dem Parameter λ liefert den Wert des Neigungswinkels δ_i.

Halb-Sinusfunktion

Die Lösung herauskommt aus der Gleichungen (1) - (5) wie in der Spencer-Methode:

• (1) Beziehung zwischen effektivem und Gesamtwert der Normalkraft, die auf die Gleitfläche wirkt
• (2) Bedingungen nach Mohr-Coulomb, die die Beziehung zwischen Normal- und Scherkräften auf ein gegebenen Abschnitt der Gleitfläche darstellen (N_i und T_i)
• (3) Kräftegleichgewicht senkrecht zum i^ten Abschnitt
• (4) Gleichgewicht entlang des i-ten Abschnitts der Gleitfläche
• (5) Momentengleichgewicht um den Punkt M

Das Umstellen der Gleichungen (3) und (4) ergibt rekursiver Formel (6):

Diese Formel erlaubt die Berechnung aller Kräfte E_i, die zwischen den Blöcken wirken, für gegebene Werte von δ_i und SF. Die Lösung geht davon aus, daß der Wert von E am Ursprung der Gleitfläche bekant und gleich E₁=0 ist.

Aus den Momentengleichgewicht (5) ergibt sich eine weitere rekursive Formel (7):

Diese Formel erlaubt uns die Berechnung für gegebene Werte für δ aller Hebelarme z der Kräfte zwischen den Blöcken, bei Kenntnis des Werts am linken Rand der Gleitfläche, wo z₁ = 0. 

Der Sicherheitsfaktor SF wird durch Anwendung des folgenden Iterationsprozesses bestimmt:

1. Der Anfangswert des Winkels δ_i wird entsprechend der Halbsinusfunktion zu (δ_i = λ_*f(x_i)) bestimmt.
2. Der Sicherheitsfaktor SF für einen Wert von δ_i folgt aus Gleichung (6), während man annimmt, dass E_n+1 = 0 am Ende der Gleitfläche ist.
3. Den Wert δ_i liefert die Gleichung (7) indem man den Wert E, der im vorherigen Schritt ermittelt wurde mit der Anforderung, dass das Moment im letzten Block gleich Null ist. Die Funktionswerte f(x_i) sind alle gleich während der Iteration, nur der Parameter λ wird iteriert. Gleichung (7) liefert nicht den Wert von z_n+1 da dieser gleich Null ist. Für diesen Wert muss das Momentengleichgewicht (5) erfüllt sein.
4. Schritt 2 und 3 werden solange wiederholt, bis sich δ_i (respektive λ) nicht mehr verändert.

Damit der Iterationsprozess stabil ist, ist es notwendig, dass instabile Lösungen vermieden werden. Solche Instabilitäten treten auf, wenn in (6) und (7) durch Null geteilt wird. In Gleichung (7) wird für δ = π/2 oder δ = -π/2 durch Null dividiert. Demnach muss der Wert des Winkels δ im Intervall (-π/2 ; π/2) liegen.

Division durch Null in (6) tritt auf, wenn:

Ein anderer Weg, numerische Instabilität zu vermeiden, ist die Überprüfung des Parameters m_α  - folgende Bedingung muss erfüllt sein:

Demnach muss man, bevor man die Iteration durchführt, den höchsten kritischen Wert von SF_min finden, der obige Bedingung erfüllt. Werte kleiner dem kritischen Wert SF_min sind im Bereich der instabilen Lösungen, demnach beginnt die Iteration bei einem Wert von SF der "ein wenig" größer als SF_min ist und somit sind alle anderen Werte von SF ebenfalls größer SF_min.

Generell konvergieren rigorose Methoden schlechter als einfache Methoden (Bishop, Fellenius). Beispiele mit Konvergenzproblemen sind unter anderem zu steile Abschnitte der Gleitfläche, komplexe Geometrie, ein signifikanter Sprung in der Auflast, usw. Falls keine Lösung gefunden wird, empfehlen wir eine geringfügige Änderung der Eingangsdaten, z. B. eine weniger steile Gleitfläche, Eingabe von mehr Punkten für die Gleitfläche, etc, oder alternativ die Berechnung mit einfachen Methoden.

Literatur:

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79-93.

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388-393.

Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272-278.