Janbu
La méthode de Janbu est une méthode des tranches générale développée sur la base de l'équilibre limite. Elle nécessite un équilibre satisfaisant des forces et des moments agissant sur des blocs individuels (seul le moment d'équilibre au dernier bloc le plus élevé n'est pas satisfait). Les blocs sont créés en divisant le sol au-dessus de la surface de glissement par des plans de division. Les forces agissant sur les blocs individuels sont représentées sur la figure suivante :
Schéma statique - méthode de Janbu
Les forces suivantes sont supposées agir sur chaque bloc :
Wi | - | poids du bloc, y compris la charge de gravité et l'effet du coefficient de séisme vertical Kv |
Kh*Wi | - | force d'inertie horizontale représentant l'effet du séisme, Kh coefficient d'accélération horizontale |
Ni | - | force normale sur la surface de glissement |
Ti | - | force de cisaillement sur la surface de glissement |
Ei , Ei+1 | - | forces exercées par les blocs voisins, elles sont inclinées par rapport au plan horizontal par l'angle δi (resp. δi+1)et se situent à une hauteur zi (resp. zi+1) au-dessus de la surface de glissement |
Fxi ,Fyi | - | autres forces horizontales et verticales agissant sur le bloc |
M1i | - | moment des forces Fxi, Fyi tournant autour du point M, qui est le milieu du ième segment de la surface de glissement |
Ui | - | pression interstitielle résultante sur le ième segment de la surface de glissement |
Les hypothèses suivantes sont introduites dans la méthode de Janbu pour calculer l’équilibre limite des forces et des moments sur des blocs individuels :
- | les plans de division entre les blocs sont toujours verticaux |
- | la ligne d'action du poids du bloc Wi passe par le milieu du ième segment de la surface de glissement représenté par le point M |
- | la force normale Ni agit au milieu du ième segment de la surface de glissement représenté, au point M |
- | la position zi des forces Ei agissant entre les blocs est supposée nulle (z = 0), aux extrémités de la surface de glissement. |
Le choix de la position zi peut avoir une influence significative sur la convergence de la méthode. Si une mauvaise hypothèse sur la position zi pour une pente donnée est faite, il peut devenir impossible de satisfaire aux conditions d'équilibre (l'algorithme ne converge pas). Les hauteurs zi au-dessus de la surface de glissement sont fixées à environ un tiers de la hauteur de l'interface entre les blocs. En cas de conditions d'équilibre insatisfaisantes, l'algorithme modifie les hauteurs à une position différente, par exemple légèrement plus haut dans la zone passive, près de la pointe, ou plus bas dans la zone active, près de la crête de la pente.
La solution prend alors la forme suivante :
| (1) |
| (2) |
| (3) |
| (4) |
| (5) |
où : | φi | - | angle de frottement interne du sol sur le segment de surface de glissement |
ci | - | cohésion du sol sur le segment de surface de glissement | |
αi | - | inclinaison du segment de surface de glissement |
L'équation (1) représente la relation entre la valeur effective et la valeur totale de la force normale agissant sur la surface de glissement. L'équation (2) correspond à la condition de Mohr-Coulomb représentant la relation entre les forces normales et les forces de cisaillement sur une portion donnée de la surface de glissement. L'équation (3) représente l'équation d'équilibre des forces dans la direction normale au ième segment de la surface de glissement, tandis que l'équation (4) représente l'équation d'équilibre le long du segment de la surface de glissement. SF est le coefficient de sécurité utilisé pour réduire les coefficients du sol. L'équation (5) correspond à l'équation d'équilibre des moments autour du point M, où ygi est la coordonnée verticale du point d'application du poids du bloc et yM la coordonnée verticale du point M.
La modification des équations (3) et (4) fournit la relation de récurrence (6) suivante :
| (6) |
Cette formule permet de calculer toutes les forces Ei agissant entre les blocs pour des valeurs données de δi et FS. Cette solution suppose qu'à l'origine de la surface de glissement, la valeur de E soit connue et vérifie E1 = 0.
La formule de calcul de l'angle δi (7) découle de l'équation d'équilibre des moments (5) :
| (7) |
A partir de cette relation, les angles des forces interblocs δi sont déterminés pour les valeurs de bras de levier données zi, les valeurs des angles au début et à la fin de la surface de cisaillement sont nuls δi = 0.
Le coefficient de sécurité FS est déterminé en utilisant le processus itératif suivant :
1. | La valeur initiale des angles est nulle δi = 0 et les positions zi à approximativement un tiers de la hauteur de l'interface. |
2. | Le coefficient de sécurité FS, pour une valeur donnée de l'angle δi, découle de l'équation (6), en supposant que En+1 = 0 à l'extrémité de la surface de glissement. |
3. | La valeur de δi est fournie par l'équation (7) en utilisant les valeurs de Ei déterminées à l'étape précédente. |
4. | Les étapes 2 et 3 sont alors répétées jusqu'à ce que la valeur du coefficient de sécurité FS ne change plus. |
Pour que le processus itératif reste stable, il est nécessaire de supprimer les cas de divergences. Elles apparaissent lors de division par zéro dans l'équation (6), c'est à dire quand :
La valeur du paramètre mα est une autre source d'instabilité numérique, pour l'éviter, la condition suivante doit être satisfaite :
Par conséquent, avant de lancer l'itération, il est nécessaire de trouver la plus grande des valeurs critiques FSmin satisfaisant aux conditions mentionnées ci-dessus. Les valeurs inférieures à cette valeur critique FSmin se trouvent dans la zone d'instabilité des solutions. Par conséquent, l'itération commence en définissant FS sur une valeur «juste» au-dessus de FSmin et toutes les valeurs de FS obtenues par les calculs itératifs sont supérieures à FSmin.
Généralement les méthodes rigoureuses convergent moins bien que les méthodes plus simples (Bishop, Fellenius). Des exemples de problèmes de convergence proviennent de sections trop pentues de la surface de glissement, d'une géométrie complexe, d'un saut de surcharge significatif, etc. Si aucun résultat n'est obtenu, nous recommandons de modifier légèrement les données d'entrée (par exemple une surface de glissement moins pentue, introduire plus de points sur la surface de glissement, etc.) ou d'utiliser des méthodes plus simples.
Littérature :
Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.
Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.