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Janbu法

Janbu法是根据极限平衡发展起来的一种通用条分法。它需要满足各条块上作用力和作用力矩的平衡条件(只有坡顶的条块不满足力矩平衡条件)。通过土条间接触面将滑动面上方的土体划分为若干条块。各条块上的作用力如下图所示:

静力图 – Janbu法

每个条块都假设承受以下作用力:

Wi

-

条块重量,包括具有重量的实体超载并考虑了竖向地震加速度系数 Kv

Kh*Wi

-

反应地震作用的水平惯性力,Kh地震时的水平加速度系数

Ni

-

滑面上的法向力

Ti

-

滑面上的剪切力

Ei,Ei+1

-

条块间的作用力,与水平面的夹角分别为 δi δi+1,作用点分别在滑面上方的 zi 和. zi+1 高度处。

Fxi,Fyi

-

其它作用在条块上的水平或竖向力

M1i

-

Fxi, Fyi 对点 M 作用的力矩,点 M i 块条块对应滑面段的中心点

Ui

-

i 块条块对应滑面段上的孔隙水压力合力值

为了求解各条块的极限作用力和力矩平衡方程组,在Janbu法中做出了如下假设:

  • 各条块间的土条间接触面是垂直的
  • 条块重量 Wi 的作用线穿过 i 块条块对应滑面段的中心点,即 M
  • 法向力 Ni 作用在 i 块条块对应滑面段的中心点处,即 M 点处
  • 条块间作用力 Ei 的作用位置是假定的,在滑面端点处 z = 0

作用点位置 zi 的选取对方法的收敛性影响很大。如果对给定边坡的作用点位置 zi 做出了比较坏的假设,则平衡条件就不可能得到满足(算法不收敛)。滑面以上的高度 zi 一般定在滑面以上条块间分界面高度的三分之一处。如果不能满足平衡条件,则在算法中改变作用点的位置,比如在被动区稍高处,接近条块底部;或在主动区的较低处,接近边坡顶部。

此方法中使用到以下方程式:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

方程(1)表示的是作用在滑面上的法向力有效应力值和总应力值之间的关系。方程(2)对应于表征某滑面段上法向力和剪切力关系的Mohr-Coulomb条件。方程(3)为 i 滑面段法线方向上的作用力平衡方程,而方程(4)表示的是沿 i 滑面段切线方向的受力平衡。SF 是安全系数,用来折减土的强度参数值。方程(5)对应的是条块上作用力关于点 M 取矩的力矩平衡方程,其中 ygi 是条块重力作用点的垂直坐标,yM 是点 M 的垂直坐标。

整理方程(3)和(4)得到下列递归公式(6):

(6)

在已知 δSF 值的情况下,上式能够计算出条块间所有的作用力 Ei。此方法假设在滑面起点处(坡脚) E 值是已知的,即 E1 = 0

从力矩平衡方程(5)得到计算角 δi 值的表达式(7):

(7)

对于给定的 δ 值,可以由上式计算得到所有条块间作用力的力臂值 zi。其中坡脚条块左侧的力臂值z1=0

根据以下迭代过程计算安全系数 SF

  1. 角度的初始值设置为零,即 δi = 0。并且作用点的位置 zi 大概在条块分界面高度的三分之一处。
  2. 假设滑面末端(坡顶)条块上的作用力 En+1 = 0,则对于给定的 δi 值,可以由方程式(6)得到安全系数 SF
  3. 使用在前面步骤中确定的 Ei 值,根据方程式(7)求得 δi 值。
  4. 重复步骤 2 和 3,直到 SF 的值不再改变为止。

要使迭代过程成功,就必须避免不稳定解。当表达式(6)中的分母为零时会出现这种不稳定求解的情况:

另一项防止数值不稳定性的检查是对参数 mα 的验算 - 必须满足以下条件:

因此在迭代计算之前,必须找出满足上述条件的最小临界值(SFmin)。使用小于临界值 SFmin 的数值计算后会得到不稳定解,因此将 SF 设置为仅比 SFmin 大一微小增量的值进行迭代,从而保证迭代过程中得到的所有 SF 的值都大于 SFmin

一般而言,严格的计算方法比简单方法(Bishop、Fellenius)的收敛性要差。存在收敛问题的情况有:滑动面区段太陡,几何模型复杂,超载突变等。如果得不到计算结果,建议稍微改变一下输入的数据,比如:滑面不要太陡,在滑面上确定更多的点位等。或者使用一些简单的分析方法。

参考文献:

Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.

Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.

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