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Morgenstern-Price

O método de Morgenstern-Price baseia-se na análise do estado de equilíbrio limite. Este método implica que o equilíbrio de forças e momentos seja verificada para cada bloco (excluindo o bloco superior, onde o equilíbrio de momentos não é verificado). Os blocos consistem na divisão do perfil do talude através de planos divisores. As forças atuam em cada bloco de acordo com a seguinte figura:

Esquema das forças atuantes - Método de Morgenstern-Price

O contributo das forças em cada bloco é igual ao assumido no método de Spencer. Para calcular o equilíbrio de forças e momentos limite através do método de Morgenstern-Price, são consideradas as seguintes premissas:

• os planos que divisores dos blocos são sempre verticais
• a linha de ação do peso do bloco W_i atravessa o centro do i^ésimo segmento da superfície de deslizamento, representado pelo ponto Ma força normal N_i atua no centro do i^ésimo segmento da superfície de deslizamento, representado pelo ponto M
• a inclinação das forças E_i atuantes entre blocos é diferente para cada bloco (δ_i), com δ = 0 nos pontos limite da superfície de deslizamento

A única diferença entre os métodos de Spencer e de Morgenstern-Price está demonstrado na lista de premissas acima descrita. A escolha dos ângulos de inclinação δ_i das forças E_i atuantes entre blocos é efetuada com base numa função semi-senoidal - uma das funções da figura seguinte é automaticamente selecionada. A escolha da forma da função tem uma influência mínima nos resultados finais, mas a escolha da forma mais adequada pode melhorar a convergência do método. O valor da função semi-senoidal f(x_i) para os pontos fronteira x_i multiplicado pelo parâmetro λ resulta no valor do ângulo de inclinação δ_i.

Função semi-senoidal

A solução assenta nas Equações (1) - (5), demostradas para o método de Spencer:

• (1) relação entre os valores efetivo e total da força normal atuante na superfície de deslizamento
• (2) condição de Mohr-Coulomb que representa a relação entre as forças normal e de cisalhamento para um dado segmento da superfície de deslizamento (N_i a T_i)
• (3) equação de equilíbrio de forças na direção normal ao i^ésimo segmento da superfície de deslizamento
• (4) equação de equilíbrio de forças na direção do i^ésimo segmento da superfície de deslizamento
• (5) equação de equilíbrio de momentos no ponto M

A partir das Equações (3) e (4) obtém-se a Equação (6):

Esta fórmula permite calcular todas as forças E_i que atuam entre blocos, para os valores de δ_i e FS considerados. Esta solução assume que o valor de E para a origem da superfície de deslizamento é conhecido e igual a E₁ = 0.

A partir da Equação (5) de equilíbrio de momentos obtém-se a Equação (7):

Esta equação permite calcular todos os braços z_i das forças atuantes entre blocos, de acordo com os valores de δ_i, conhecendo o valor à esquerda da origem da superfície de deslizamento, onde z₁ = 0.

O fator de segurança FS é determinado através do seguinte processo iterativo:

1. O valor inicial dos ângulos δ_i é definido de acordo com a função semi-senoidal (δ_i = λ_*f(x_i)).
2. O fator de segurança FS para um dado valor de δ_i é obtido a partir da Equação (6), assumindo que o valor de E_n+1 = 0 para os limites da superfície de deslizamento.
3. O valor de δ_i é obtido através da Equação (7) considerando os valores de E_i determinados no passo anterior, respeitando a condição do momento ser nulo no último bloco. Os valores da função f(x_i) são constantes durante todo o processo iterativo, sendo que apenas o parâmetro λ é iterado. A Equação (7) não calcula o valor de z_n+1 dado que este é nulo. Para este valor, a Equação (5) de equilíbrio de momentos deve ser verificada.
4. Os passos 2 e 3 são repetidos até que o valor de δ_i (e o respetivo parâmetro λ) não se alterem.

Para que o processo iterativo estabilize, é necessário evitar soluções instáveis. Estas instabilidades podem ocorrer quando se verificarem divisões por zero nas Equações (6) e (7). Na Equação (7), a divisão por zero verifica-se quando δ = π/2 ou δ = -π/2. Assim, o valor do ângulo δ deve estar compreendido no intervalo (-π/2 ; π/2).

Na Equação (6), a divisão por zero verifica-se quando:

Outra verificação que deve ser verificada para prevenir a instabilidade numérica é a do parâmetro m_α  - a seguinte condição deve ser verificada:

Assim, antes de iniciar o processo iterativo, é necessário obter o valor mais crítico FS_min que satisfaça todas as condições referidas. Os valores inferiores a este valor crítico FS_min representam soluções instáveis, sendo que o processo iterativo terá início com a definição de FS como um valor imediatamente acima de FS_min e, consequentemente, todos os valores de FS do processo iterativo serão superiores a FS_min.

Geralmente, a convergência de métodos rigorosos é pior que a de métodos mais simples (Bishop, Fellenius). Como exemplos, os problemas de convergência podem ser encontrados para secções demasiado inclinadas de superfícies de deslizamento, geometrias complexas, variações de sobrecargas elevadas, etc. Caso não seja obtido nenhum resultado, é recomendável uma ligeira alteração nos dados introduzidos, ex.: inclinação da superfície de deslizamento menos acentuada, introduzir mais pontos na superfície de deslizamento, etc, ou recorrer a métodos mais simples.

Bibliografia:

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1965. The analysis of the stability of general slip surfaces. Géotechnique, 15(1): 79-93.

Morgenstern, N.R., and Price, V.E. 1967. A numerical method for solving the equations of stability of general slip surfaces. Computer Journal, 9: 388-393.

Zhu, D.Y., Lee, C.F., Qian, Q.H., and Chen, G.R. 2005. A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method. Canadian Geotechnical Journal, 42(1): 272-278.